РОСЖЕЛДОР
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Ростовский государственный университет путей сообщения»
(ФГБОУ ВПО РГУПС)

В.В. Ильичева

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ И МОДЕЛИРОВАНИЯ В ЭКОНОМИКЕ

Учебно-методическое пособие
к выполнению контрольной работы 

Ростов-на-Дону
2011
УДК 681.3.06 + 06
Ильичева, В.В.
 Методы вычислений и моделирования в экономике : учебно-методи-ческое пособие к выполнению контрольной работы / В.В. Ильичева ; Рост. гос. ун-т путей сообщения. – Ростов н/Д, 2011. – 28 с. : ил. – Библиогр. : 10 назв.

Содержится порядок выполнения контрольной работы по курсу «Методы вычислений и моделирования в экономике»: правила оформления работы, подробные инструкции к реализации упражнений с помощью электронных таблиц, варианты заданий для самостоятельного выполнения, пример решения аналогичных задач, образец готовой работы.
Предназначено для студентов экономических специальностей заочного отделения, изучающих дисциплины «Методы вычислений и моделирования в экономике».

Рецензент д-р техн. наук, проф. М.А. Бутакова (РГУПС)

	

	 © Ростовский государственный университет
	путей сообщения, 2011
►Пояснения
Задания выбираются следующим образом: номер варианта совпадает с последней цифрой номера зачетной книжки.

►Правила оформления
Контрольная работа выполняется на листах А4 (жестко скрепленных) или в тетради. 
Контрольная работа должна содержать: 
‒ титульный лист с указанием дисциплины, фамилии и группы студента, фамилии преподавателя; 
‒ номер задачи и ее решение.

►Варианты заданий

Вариант 1

1 Трикотажная фабрика использует для производства костюмов и платьев чистую шерсть, силон и нитрон, запасы которых составляют соответственно 40, 24 и 18 кг. Кол-во пряжи каждого вида (в кг), необходимой для изготовления 10 изделий (затраты пряжи на 10 шт.), а также прибыль, получаемая от их реализации, приведены в таблице:

Вид сырья	Затраты пряжи	
	Костюмы	Платья	
Шерсть	4	2	
Силон	3	1	
Нитрон	1	1	
Прибыль за 10 шт. ($)	18	12	

Установить план выпуска изделий, максимизирующий прибыль. Составить математическую модель и решить задачу в Excel.

2 Решить ЗЛП:

3 Решить транспортную задачу:

Поставщики	Потребители	
					
	2	6	3	6	
	5	3	2	7	
	1	6	3	5	

Вариант 2

1 Для уборки пшеницы и риса соответственно используются комбайны двух типов. Расход материалов и денежных средств на техническое обслуживание приведен в таблице. Там же указывается прибыль агрофирмы за реализацию 1 т каждого типа зерна. 

Вид сырья	Тип комбайна	
	1 тип 	2 тип 	
Бензин, т	0,2	0,2	
Масло, л	2	1	
Расходы на т/0 (д.е.)	3	8	
Прибыль за 1 т (д.е.)	5	8	

Запасы ресурсов: бензин  2,4 т, масло  20 л, расходы на т/о  81 д.е. 
Определить, сколько комбайнов каждого типа следует использовать, чтобы общая прибыль агрофирмы была максимальной. Составить математическую модель и решить задачу в Excel.

2 Решить ЗЛП:

3 Решить транспортную задачу:

Поставщики	Потребители	
					
	6	3	5	6	
	7	5	4	7	
	9	2	1	3	

Вариант 3

1 Мебельная фабрика использует для производства витрин и журнальных столов стекло, дерево и пластик, запасы которых составляют соответственно 6, 12 и 11 кв. м. Количество материалов каждого вида, необходимое для изготовления изделий, а также прибыль, получаемая от их реализации, приведены в таблице:

Вид материалов	Затраты материалов на изготовление 
1 изделия	
	Витрины	Журнальные 
столы	
Стекло	0,4	0,1	
Дерево	0,5	0,6	
Пластик	0,6	0,4	
Прибыль за 1 шт. 
(тыс. руб.)	10	5	

Установить план выпуска изделий, максимизирующий прибыль. Составить математическую модель и решить задачу в Excel.

2 Решить ЗЛП:

3 Решить транспортную задачу:

Поставщики	Потребители	
					
	2	6	5	11	
	6	3	8	7	
	4	4	2	12	

Вариант 4

1 Мясной цех для производства сосисок двух видов: «Студенческие» и «Отменные» – закупил 38 кг мяса, 30 кг сала, 36 кг ливера и 26 кг пищевых добавок. Данные о производстве приведены в таблице (затраты ресурсов на изготовление 10 кг):
Вид ресурсов	Затраты ресурсов	
	«Студенческие»	«Отменные»	
Мясо	4	6	
Сало	0	6	
Субпродукты	6	0	
Пищевые добавки	4	2	
Прибыль за 10 кг (руб.)	70	120	

Установить план выпуска изделий, максимизирующий прибыль. Составить математическую модель и решить задачу в Excel.

2 Решить ЗЛП:

3 Решить транспортную задачу:

Поставщики	Потребители	
					
	6	3	2	4	
	1	2	8	4	
	2	7	3	5	

Вариант 5

1 Консервный завод изготовляет томатную пасту и томатный сок. Для этого было закуплено 100 кг помидоров, 30 кг соли и 10 кг пищевых добавок. Данные о производстве приведены в таблице (затраты на изготовление приведены для 1 кг (л)):

Вид ресурсов	Затраты ресурсов	
	Паста	Сок	
Помидоры	3	5	
Соль	2	0,5	
Пищевые добавки	0,5	0,4	
Прибыль 
за 1 кг (л)  (руб.)	12	6	

Установить план выпуска изделий, максимизирующий прибыль. Составить математическую модель и решить задачу в Excel.

2 Решить ЗЛП:

3 Решить транспортную задачу:

Поставщики	Потребители	
					
	2	9	3	7	
	6	5	1	5	
	4	8	7	4	

Вариант 6

1 При удобрении газонов нужно внести в 1 га почвы не менее 8 единиц азота, 21  фосфора и 16  калия. Администрация закупает комбинированные удобрения двух видов. В таблице указаны содержание химических веществ и цена за единицу веса каждого вида удобрения:

Химические вещества	Содержание вещества в единице удобрения	
	1 вид	2 вид	
Азот	1	5	
Фосфор	12	3	
Калий	4	4	
Цена за 1 ед. удобрения	5	2	

Минимизировать расходы по закупке необходимого хозяйству количества удобрений. Составить математическую модель и решить задачу в Excel.

2 Решить ЗЛП:

3 Решить транспортную задачу:

Поставщики	Потребители	
					
	2	6	5	1	
	6	8	7	4	
	5	4	11	3	

Вариант 7

1 Обувная фабрика использует для производства ботинок и сапог материалы трех типов: кожа, искусственная кожа и мех, запасы которых составляют соответственно 100, 170 и 80 кв. м. Количество материалов каждого вида (в кв. м), необходимое для изготовления пары обуви, а также прибыль, получаемая от ее реализации, приведены в таблице:

Вид материи	Затраты материалов на 1 шт.	
	Ботинки	Сапоги	
Кожа	1	2	
Искусственная кожа	2	3	
Мех	1	1	
Прибыль за 1 пару ($)	5	9	

Установить план выпуска изделий, максимизирующий прибыль. Составить математическую модель и решить задачу в Excel.

2 Решить ЗЛП:

3 Решить транспортную задачу:

Поставщики	Потребители	
					
	2	5	6	1	
	6	3	8	5	
	4	4	9	2	
Вариант 8

1 Содержание витаминов А и С в 1 кг фруктов задано таблицей:

Фрукты	Витамины	
	А (мг)	С (мг)	
Вишня	8	24	
Абрикосы	50	30	

Сколько граммов вишни и абрикосов следует включить в дневной рацион, чтобы в нем оказалось не менее 27 мг витамина А и не менее 21 мг витамина С при минимальных затратах, если 1 кг вишни стоит 10 рублей, а 1 кг абрикосов  15 рублей.

Минимизировать расходы по закупке необходимого хозяйству кол-ва удобрений. Составить математическую модель и решить задачу в Excel.

2 Решить ЗЛП:

3 Решить транспортную задачу:

Поставщики	Потребители	
					
	2	7	5	3	
	5	1	2	5	
	4	4	9	4	

Вариант 9
1 Фирма изготавливает колбасы двух видов: «Салями» и «Сервелат». Данные о производстве приведены в таблице:

Вид ресурсов	Затраты ресурсов на изготовление 1 кг.	
	«Салями»	«Сервелат»	
Свинина (кг)	0,7	0,2	
Говядина (кг)	0,3	0,8	
Пищевые добавки (кг)	0,6	0,5	
Прибыль за 1 кг. (руб.)	15	10	
Фирмой закуплено 6 кг свинины, 10 кг говядины и 7 кг пищевых добавок. Установить план выпуска изделий, максимизирующий прибыль. Составить математическую модель и решить задачу в Excel.

2 Решить ЗЛП:

3 Решить транспортную задачу:

Поставщики	Потребители	
					
	4	3	2	7	
	6	1	4	6	
	2	5	9	10	

Вариант 10

1 Предприятие по производству сельскохозяйственной техники изготавливает тракторы и бульдозеры. Расход материалов на единицу производимой техники и приносимый ею доход приведены в таблице:

Ресурсы	Вид техники	
	Трактор	Бульдозер	
Железо, т	0,3	0,2	
Термическая обработка, ч	2	0,5	
Рабочее время, ч	48	64	
Доход, $	100	60	

Запасы ресурсов: железо  3,1 т, тепловая обработка  18 ч, рабочее время  752 ч. Определить, сколько единиц каждого вида техники следует производить, чтобы общая прибыль предприятия была максимальной. Составить математическую модель и решить задачу в Excel.

2 Решить ЗЛП:

3 Решить транспортную задачу:

Поставщики	Потребители	
					
	2	13	4	4	
	6	5	3	7	
	4	1	7	8	

►Порядок выполнения работы

Рассмотрим пример задачи 1

1 Фабрика использует для производства двух видов продукции А1 и А2 ресурсы В1, В2 и В3, запасы которых составляют соответственно 40, 24 и 18 кг. Количество ресурса каждого вида, необходимое для изготовления единицы продукта, а также прибыль, получаемая от реализации единицы продукции каждого вида, приведены в таблице:

Вид сырья	Затраты ресурсов	
	А1	А2	
В1	4	2	
В2	3	1	
В3	1	1	
Прибыль за ед.	18	12	

Установить план выпуска изделий, максимизирующий прибыль. 

Математическая модель задачи:

при ограничениях:

.

Перейдем к решению задачи в Excel.

1 В ячейки А3:В3 введем значения коэффициентов целевой функции (18 и 12).
2 В ячейки А10:В12 введем значения коэффициентов ограничений (технологическую матрицу).
3 В ячейки В15:В17 введем значения правых частей ограничений (запасы).
4 Отведем под переменные ,  диапазон ячеек А7:В7 (пока они пустые), как показано на рис. 1.

Рис. 1. Ввод исходных данных для задачи планирования производства

Выполним расчеты:
5 В ячейку С3 введем формулу: =СУММПРОИЗВ(А3:В3;А7:В7), которая представляет целевую функцию.
6 В ячейку А15 введем формулу: = СУММПРОИЗВ($A$7:$B$7;А10:В10), которая представляет левую часть первого ограничения.
7 С помощью автозаполнения скопируем формулу, введенную в ячейку А15, в ячейки А16, А17.
Рабочий лист Excel примет вид, показанный на рис. 2 и на рис. 3 (значения ячеек, в которые вносились формулы, будут пока равны нулю, так как неизвестны ).

Рис. 2. Рабочий лист Excel после внесения формул

Рис. 3. Расчеты для решения задачи планирования производства

8 Для дальнейшего решения задачи необходимо вызвать команду меню Сервис / Поиск решения (если эта команда отсутствует, то нужно зайти в меню Сервис/Надстройки и установить флажок возле Поиска решения).
9 Диалоговое окно Поиск решения заполним, как показано на рис. 4.

Рис. 4. Заполненное окно Поиск решения 

 Установить целевую ячейку С3
   Равной максимальному значению
 Изменяя ячейки А7:В7
 Ограничения: нажать кнопку Добавить и в открывшееся окно ввести диапазоны (можно их выделить, они сами впишутся в окно Добавить): 
А15:А17 <= В15:В17
А7:В7 >= 0
 После ввода последнего (второго) ограничения в окне Добавить нужно нажать кнопку ОК.
10 Далее следует нажать кнопку Выполнить, после чего будет получено решение  (рис. 5).

Рис. 5. Полученное решение задачи планирования производства

Ответ задачи: Фабрике следует производить 2 единицы продукции вида А1, 16 единиц продукции вида А2, при этом прибыль будет максимальной и составит 228 у.е.

Задача 2 решается аналогично.

Рассмотрим пример задачи 3 (транспортной задачи).

Пусть есть 3 пункта производства и 4 пункта потребления груза. Объемы производства, потребления и стоимости перевозок приведены в таблице.

	
Исходные данные для примера

					
	3	5	7	11	
	1	4	6	3	
	5	8	12	7	

Для решения этой транспортной задачи заполним лист MS Excel следующим образом (рис. 6):

• В ячейки В2:Е4 введите стоимости перевозок. В ячейки F2:F4 введите объемы производства, а в ячейки В5:Е5  потребности в грузе в пунктах назначения. Ячейки В8:Е10 отведите под значения неизвестных (объемы перевозок). В ячейку F12 введите формулу для расчета целевой функции: =СУММПРОИЗВ(В2:Е4;В8:Е10).

Рис. 6. Исходные данные и окно Поиск решения для транспортной задачи

• В ячейку В11 введите формулу: =СУММ(В8:В10). Скопируйте эту формулу из ячейки В11 в ячейки С11:Е11.
• Значения в ячейках В11:Е11 определяют объемы груза, ввозимого в пункты назначения.
• В ячейку F8 введите формулу: =СУММ(В8:Е8). Скопируйте эту формулу в ячейки F9:F10. 
• Формулы в ячейках F8:F10 вычисляют объем груза, вывозимого из пунктов производства.
• Выберите команду Сервис / Поиск решения. Заполните открывшееся диалоговое окно, как показано на рис. 7.

Рис. 7. Заполненное окно Поиск решения для транспортной задачи

• В диалоговом окне Параметры поиска решения установите флажок Линейная модель. После нажатия кнопки Выполнить средство поиска решений находит оптимальный план перевозки грузов и соответствующие ему транспортные расходы (рис. 8).

Рис. 8. Результат решения транспортной задачи

Приложение 1
РОСЖЕЛДОР
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования 
«Ростовский государственный университет путей сообщения»
(ФГБОУ ВПО РГУПС)

Кафедра «ИНФОРМАТИКА»

Контрольная работа
по дисциплине «Методы вычислений и моделирование 
в экономике»

Выполнил	студент  группы______________
	_____________________________
	шифр________________________
	вариант №_______

Проверил	доцент каф. «Информатика»
	Ильичева В.В.

Ростов-на-Дону
20__

Приложение 2

Образец оформления контрольной работы

Задача 1. Задача планирования производства

Фабрика использует для производства двух видов продукции А1 и А2 ресурсы В1, В2 и В3, запасы которых составляют соответственно 40, 24 и 18 кг. Кол-во ресурса каждого вида, необходимое для изготовления единицы продукта, а также прибыль, получаемая от реализации единицы продукции каждого вида, приведены в таблице:

Вид сырья	Затраты ресурсов	
	А1	А2	
В1	4	2	
В2	3	1	
В3	1	1	
Прибыль за ед.	18	12	

Установить план выпуска изделий, максимизирующий прибыль. 

Математическая модель задачи:

при ограничениях:

.

Решение:

1 В ячейки А3:В3 введем значения коэффициентов целевой функции (18 и 12).

2 В ячейки А10:В12 введем значения коэффициентов ограничений (технологическую матрицу).

3 В ячейки В15:В17 введем значения правых частей ограничений (запасы).

4 Отведем под переменные ,  диапазон ячеек А7:В7 (пока они пустые) как показано на рис. П1.

Рис. П1. Ввод исходных данных для задачи планирования производства

Выполним расчеты:

5 В ячейку С3 введем формулу: =СУММПРОИЗВ(А3:В3;А7:В7), которая представляет целевую функцию.

6 В ячейку А15 введем формулу: = СУММПРОИЗВ($A$7:$B$7;А10:В10), которая представляет левую часть первого ограничения.

7 С помощью автозаполнения скопируем формулу, введенную в ячейку А15, в ячейки А16, А17.

Рабочий лист Excel примет вид, показанный на рис. П2 и П3 (значения ячеек, в которые вносились формулы, будут пока равны нулю, так как неизвестны ).

Рис. П2. Рабочий лист Excel после внесения формул

Рис. П3. Расчеты для решения задачи планирования производства

8 Для дальнейшего решения задачи необходимо вызвать команду меню Сервис / Поиск решения. (Если эта команда отсутствует, то нужно зайти в меню Сервис/Надстройки и установить флажок возле Поиска решения).

9 Диалоговое окно Поиск решения заполним, как показано на рис. П4.

Рис. П4. Заполненное окно Поиск решения 

 Установить целевую ячейку С3

   Равной максимальному значению

 Изменяя ячейки А7:В7

 Ограничения: нажать кнопку Добавить и в открывшееся окно ввести диапазоны (можно их выделить, они сами впишутся в окно Добавить): 

А15:А17 <= В15:В17
А7:В7 >= 0

 После ввода последнего (второго) ограничения в окне Добавить нужно нажать кнопку ОК.

10 Далее следует нажать кнопку Выполнить, после чего будет получено решение  (рис. П5).

Рис. П5. Полученное решение задачи планирования производства

Ответ задачи: Фабрике следует производить 2 единицы продукции вида А1, 16 единиц продукции вида А2, при этом прибыль будет максимальной и составит 228 у.е.

Задача 2

Ввод исходных данных и расчеты:

Результаты:

Задача 3. Транспортная задача

Имеется 3 пункта производства и 4 пункта потребления груза. Объемы производства, потребления и стоимости перевозок приведены в таблице.

Исходные данные для примера

					
	3	5	7	11	
	1	4	6	3	
	5	8	12	7	

Для решения этой транспортной задачи заполним лист MS Excel следующим образом (рис. П6):

• В ячейки В2:Е4 введем стоимости перевозок. В ячейки F2:F4 введем объемы производства, а в ячейки В5:Е5  потребности в грузе в пунктах назначения. Ячейки В8:Е10 отведем под значения неизвестных (объемы перевозок). В ячейку F12 введем формулу для расчета целевой функции: =СУММПРОИЗВ(В2:Е4;В8:Е10).

Рис. П6. Исходные данные и окно Поиск решения для транспортной задачи

• В ячейку В11 введем формулу: =СУММ(В8:В10). Скопируем эту формулу из ячейки В11 в ячейки С11:Е11.

• Значения в ячейках В11:Е11 определяют объемы груза, ввозимого в пункты назначения.

• В ячейку F8 введем формулу: =СУММ(В8:Е8). Скопируем эту формулу в ячейки F9:F10. 

• Формулы в ячейках F8:F10 вычисляют объем груза, вывозимого из пунктов производства.

• Выберем команду Сервис / Поиск решения. Заполним открывшееся диалоговое окно, как показано на рис. П7.

Рис. П7. Заполненное окно Поиск решения для транспортной задачи

• В диалоговом окне Параметры поиска решения установим флажок Линейная модель. После нажатия кнопки Выполнить средство поиска решений находит оптимальный план перевозки грузов и соответствующие ему транспортные расходы (рис. 8).

Рис. П8. Результат решения транспортной задачи

Библиографический список

1 Белявский, Г.И. Методы вычислений и моделирование в экономике : методические указания / Г.И. Белявский, В.В. Ильичева.  Ростов н/Д : РГУПС, 2005.  56 с.
2 Ильичева, В.В. Математические методы в экономике : учебное пособие / В.В. Ильичева. – Ростов н/Д : РГУПС, 2006. – 112 с.
3 Ильичева, В.В. Математическое моделирование экономических процессов : учеб. пособие / В.В. Ильичева. – Ростов н/Д : РГУПС, 2009. – 136 с.
4 Гарнаев, А.Ю. Использование MS Excel и VBA в экономике и финансах / А.Ю. Гарнаев. – СПб. : БХВ, 2000.  336 с.
5 Красс, М.С. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. – М. : Дело, 2000.  688 с.
6 Бухвалов, А.В. Финансовые вычисления для профессионалов / А.В. Бухвалов, В.В. Бухвалова, А.В. Идельсон. – СПб. : БХВ-Петербург, 2001.  320 с.
7 Хачатрян, С.Р. Методы и модели решения экономических задач / С.Р.  Хачатрян, М.В. Пинегина, В.П. Буянов. – М. : «Экзамен», 2005.  384 с.
8 Просветов, Г.И. Математические модели в экономике : учебно-методическое пособие / Г.И. Просветов.  М. : Изд-во РДЛ, 2005.  152 с.
9 Смирнова, В.В. Динамические модели экономики : учеб. пособие / В.В. Смирнова.  М. : Издательско-книготорговый центр «Маркетинг», МУПК, 2001.  31 с.
10 Леоненков, А.В. Решение задач оптимизации в среде MS Excel / А.В. Леоненков.  СПб. : БХВ, 2005.  704 с.

Содержание

Пояснения ………………………………………………………………………...	    3
Правила оформления …………………………………………………………….	    3
Варианты заданий ..………………………………………………………………	    3
Порядок выполнения работы ……………………………………………………	  11
Приложение 1 …………………………………………………………………….	  18
Приложение 2 …………………………………………………………………….	  19
Библиографический список ……………………………………………………..	  27

Учебное издание

Ильичева Вера Витальевна

Методы вычислений и моделирования в экономике

Учебно-методическое пособие
 к выполнению контрольной работы 

Редактор А.В. Артамонов
Техническое редактирование и корректура А.В. Артамонова

Подписано в печать 13.12.2011. Формат 60×84/16.
Бумага газетная. Ризография. Усл. печ. л. 1,63.
Уч.-изд. л. 1,55. Тираж        экз. Изд. № 239. Заказ №

Ростовский государственный университет путей сообщения.
Ризография РГУПС.
__________________________________________________________________
Адрес университета: 344038, г. Ростов н/Д, пл. им. Ростовского Стрелкового Полка Народного Ополчения, 2.